Question

（理）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴方程与单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象可求得A，ω，及φ的值，从而可求得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

），利用正弦函数的性质可求得f（x）的对称轴方程与单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），
∴由图可知A=2，又

T

4

=

5π

12

-

π

6

=

π

4

，
∴T=π，
∵ω＞0，T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
又f（

π

6

）=2，
∴

π

6

×2+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=2kπ+

π

6

，k∈Z，而|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z可得f（x）的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是关键，也是难点，考查分析转化与运算的能力，属于中档题．