题目内容

已知向量 $数学公式$ =（a-2b，a）， $数学公式$ =（a+2b，3b），且 $数学公式$ ， $数学公式$ 的夹角为钝角，则在平面aOb上，满足上述条件及a²+b²≤1的点（a，b）所在的区域面积S满足

A.
S=π
B.
S= $数学公式$
C.
S＞ $数学公式$
D.
S＜ $数学公式$

D
分析：先根据夹角为钝角得到 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ＜0，进而得到（a+4b）（a-b）＜0，再结合图象即可得到结论．
解答：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为钝角，
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ＜0，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜0，
即（a-2b，a）•（a+2b，3b）=a²-4b²+3ab=（a+4b）（a-b）＜0．
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
画出上述可行域及a²+b²≤1（如图）．
显然直线b=a与b=- $\text{[math]}$ a的夹角为锐角．
∴S＜ $\text{[math]}$ ．
故应选D．
故选：D
点评：本题主要考察平面向量的数量积的应用问题．解决本题的关键在于根据夹角为钝角得到 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜0，进而得到（a+4b）（a-b）＜0．

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