Question

已知向量

m

=（a-2b，a），

n

=（a+2b，3b），且

m

，

n

的夹角为钝角，则在平面aOb上，满足上述条件及a²+b²≤1的点（a，b）所在的区域面积S满足（　　）

• A．S=π
• B．S=

  π

  2

• C．S＞

  π

  2

• D．S＜

  π

  2

Answer 1

分析：先根据夹角为钝角得到

m

．

n

＜0，进而得到（a+4b）（a-b）＜0，再结合图象即可得到结论．

解答：解：∵

m

，

n

的夹角为钝角，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

＜0，
∴

m

•

n

＜0，
即（a-2b，a）•（a+2b，3b）=a²-4b²+3ab=（a+4b）（a-b）＜0．
∴

a+4b＞0 a-b＜0

或

a+4b＜0 a-b＞0

，
画出上述可行域及a²+b²≤1（如图）．
显然直线b=a与b=-

1

4

a的夹角为锐角．
∴S＜

π

2

．
故应选D．
故选：D

点评：本题主要考察平面向量的数量积的应用问题．解决本题的关键在于根据夹角为钝角得到

m

•

n

＜0，进而得到（a+4b）（a-b）＜0．