Question

1．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y=4x²+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据题意，列出该设备所花费的年平均费用函数式f（x），利用基本不等式或判别式法，
求出f（x）取最小值时x的值即可．

解答 解：解法一，根据题意，得；
该设备所花费的年平均费用为
f（x）=$\frac{y}{x}$=$\frac{{4x}^{2}+64}{x}$=4x+$\frac{64}{x}$，其中x＞0；
∵x＞0，∴4x+$\frac{64}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{64}{x}}$=32，
当且仅当4x=$\frac{64}{x}$，即x=4时，取“=”；
∴当x=4时，该设备的年平均花费最低．
解法二，根据题意，得；
该设备所花费的年平均费用为
f（x）=$\frac{y}{x}$=$\frac{{4x}^{2}+64}{x}$，其中x＞0；
设t=$\frac{{4x}^{2}+64}{x}$，
∴4x²-tx+64=0，
∴△=t²-4×4×64≥0，
解得t≥32或t≤-32（不和题意，舍去），
当t=32时，x=$\frac{32±0}{8}$=4，
∴x=4时，该设备的年平均花费最低．
故选：B．

点评 本题考查了函数的应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最小值的应用问题，是基础题目．