题目内容

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件 $数学公式$ ，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）过N（2，0）作直线l交曲线W于A，B两点，使得|AB|=2 $数学公式$ ，求直线l的方程．
（3）若从动点P向圆C：x²+（y-4）²=1作两条切线，切点为A、B，令|PC|=d，试用d来表示 $数学公式$ ，并求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，
实轴长为 $\text{[math]}$ 的双曲线．（2分）
即设 $\text{[math]}$
所以所求的W的方程为x²-y²=2（4分）
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2， $\text{[math]}$ ），B（2，- $\text{[math]}$ ），|AB|=2 $\text{[math]}$ 满足题意；（5分）
若k存在，可设l：y=k（x-2）
联立 $\text{[math]}$ ，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由题意知 $\text{[math]}$ ?k∈R且k≠±1（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|= $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ?k=0即l：y=0（8分）
所以直线l的方程为x=2或y=0（9分）
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
又d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵d²≥10（13分） $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 是增函数，
∴ $\text{[math]}$
则所求的 $\text{[math]}$ 的范围为 $\text{[math]}$ （16分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知点P的轨迹是以M（-2，0），N（2，0）为焦点，实轴长为 $\text{[math]}$ 的双曲线．由此能求出W的方程．
（2）若k不存在，即x=2时，可得A（2， $\text{[math]}$ ），B（2，- $\text{[math]}$ ），|AB|=2 $\text{[math]}$ 满足题意；若k存在，可设l：y=k（x-2），联立 $\text{[math]}$ ，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．由题意知 $\text{[math]}$ ，k≠±1．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|= $\text{[math]}$ ．由此能求出直线l的方程．
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出 $\text{[math]}$ 的范围．
点评：本题考查双曲线方程和直线方程的求法，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质和向量数量积计算公式，合理地进行等价转化．