Question

设实数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a，an+1=2Sn+4n，n∈N^*．
（1）设bn=Sn-4n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意Sn+1=3Sn+4n，此得Sn+1-4n+1=3(Sn-4n)，即b_n+1=3b_n，由此能求出bn=(a-4)•3n-1．
（2）由Sn=(a-4)•3n-1+4n，知Sn-1=(a-4)•3n-2+4n-1，由此能求出an=

a，n=1 2(a-4)•3n-2+3•4n-1，n≥2，n∈N

．
（3）当n=1时，a₂-a₁=2（a-4）+12-a≥0，得 a≥-4．由此能求出对于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立时a的取值范围．

解答：解：（1）∵a₁=a，an+1=2Sn+4n，n∈N^*，
∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn+4n，即Sn+1=3Sn+4n，（1分）
由此得Sn+1-4n+1=3(Sn-4n)，即b_n+1=3b_n，（3分）
所以{b_n}是首项为b1=S1-41=a-4，公比为3的等比数列，（4分）
故bn=(a-4)•3n-1．（5分）
（2）由（1）知Sn=(a-4)•3n-1+4n，
当n≥2时，Sn-1=(a-4)•3n-2+4n-1，
所以an=Sn-Sn-1=(a-4)(3n-1-3n-2)+4n-4n-1=2（a-4）•3^n-2+3•4^n-1，（3分）
n=1时，a₁=S₁=a．（4分）
∴an=

a，n=1 2(a-4)•3n-2+3•4n-1，n≥2，n∈N

．（5分）
（3）当n=1时，a₂-a₁=2（a-4）+12-a≥0，得 a≥-4；（2分）
当 n≥2，n∈N时，an+1-an=2(a-4)(3n-1-3n-2)+3(4n-4n-1)=4（a-4）•3^n-2+9•4^n-1≥0
整理得，a≥4-9•(

4

3

)n-2
上式在n≥2时恒成立，
故若对于一切n∈N^*，都有a_n+1≥a_n恒成立，
只需a≥[4-9•(

4

3

)n-2]max=4-9•(

4

3

)2-2=-5    （5分）
综上所述，a≥-4．（6分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．