Question

已知关于x的函数f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+bc，其导函数为f⁺（x）．令g（x）=|f⁺（x）|，记函数g（x）在区间[-1、1]上的最大值为M．
（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值：
（Ⅱ）若|b|＞1，证明对任意的c，都有M＞2
（Ⅲ）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

（I）∵f'（x）=-x²+2bx+c，由f（x）在x=1处有极值-

4

3

可得

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

解得

b=1 c=-1

，或

b=-1 c=3

若b=1，c=-1，则f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，此时f（x）没有极值；
若b=-1，c=3，则f'（x）=-x²-2x+3=-（x+1）（x-1）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值-12	↗	极大值- 4 3	↘

∴当x=1时，f（x）有极大值-

4

3

，故b=-1，c=3即为所求．

（Ⅱ）证法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
当|b|＞1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1.1]之外．
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个，
∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2

证法2（反证法）：因为|b|＞1，所以函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个
假设M≤2，则M=maxg{（-1），g（1），g（b）}
将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，∴M＞2

（Ⅲ）解法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
（1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知f'（b）-f'（±1）=b（?1）²≥0；
（2）当|b|≤1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}
由f'（1）-f'（-1）=4b，有f'（b）-f'（±1）=b（?1）²≥0
①若-1≤b≤0，则f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），∴g（-1）≤max{g（1），g（b）}，
于是M=max{|f′(1)，|f′(b)|}≥

1

2

(|f′(1)|+f′(b)|)≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2≥

1

2

②若0＜b≤1，则f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），∴g（1）≤maxg（-1），g（b）
于是M=max{|f′(-1)|，|f′(b)|}≥

1

2

(|f′(-1)|+|f′(b)|)≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2＞

1

2

综上，对任意的b、c都有M≥

1

2

而当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|-x2+

1

2

|在区间[-1，1]上的最小值M=

1

2

故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为

1

2

．
解法2：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
（1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知M＞2
（2）当|b|≤1
y=f'（x）时，函数的对称轴x=b位于区间[-1，1]内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}
4M≥g（-1）+g（1）+2g（h）=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b²+c|≥|-1-2b+c+（-1+2b+c）-2（b²+c）|=|2b²+2|≥2，
即M≥

1

2

下同解法1