Question

【题目】已知函数．

（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；

（2）若函数有两个不同的零点，求的范围．

Answer 1

【答案】(1)或．(2)或．

【解析】试题分析：（1）求得，根据在点处垂直于直线 ，得到

，即可求解实数的值；

（2）求得函数的导函数，可分、和三种情况讨论，由函数有两个不同的零点，列出不等式，即可求解的取值范围．

试题解析：

（1），

因为在点处垂直于直线 ，

所以，，解得或．

（2）函数的定义域为，．

①当时， ，无零点；

②当时，，得．

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

∴．

因为，

且当时，，当→时，，，

∴若函数有两个不同的零点，需，即，；

③当时，令，得．

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

∴．

当→和当→，均有，

若函数有两个不同的零点，需时，即，．

综上，函数有两个不同的零点，的取值范围是或．