Question

数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n+1，a₁=2．
（1）设bn=an+

1

2

，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n+1，a₁=2．变形为an+1+

1

2

=3(an+

1

2

)，而bn=an+

1

2

，即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）利用（1）和等比数列的通项公式即可得出a_n．

解答：解：（1）由数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n+1，a₁=2．变形为an+1+

1

2

=3(an+

1

2

)，
∴b_n+1=3b_n．
∴数列{b_n}是以

5

2

为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）可知：bn=

5

2

×3n-1，
∴an+

1

2

=

5

2

×3n-1，
∴an=

5×3n-1-1

2

．

点评：本题考查了通过变形可化为等比数列的数列的通项公式的求法、等比数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．