题目内容

已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=α与x=β处有两上不同的极值点，设f（x）在点（-1，f（-1））处切线为l1，其斜率为k1；在点
（1，f（1））利的切线为l2，其斜率为k2．
（1）若
（2）若，求k1k2的取值范围．
【答案】分析：（1）求出求出函数的导函数，因为两直线垂直得到斜率乘积为-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入到|α-β|=中得到②，然后①②解得b和c即可；
（2）把α=-代入到导函数中得到b与c的关系③，又因为β∈（0，1）得到f′（0）＜0，f′（1）＞0得到b与c的等式④，由③④解出c的取值范围，而表示出k1k2，由c的范围即可得到k1k2的范围．
解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c∵l1⊥l2，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x2+2bx+c=0的两根，∴
又∵②
由①②得
（2）③
∵④
由③④得：

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会求直线的斜率．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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