Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，.若函数的最小值是，求的值；

（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）1（3）

【解析】试题分析：

(1) 当时，，可得函数的单调增区间是，单调减区间为 ；

(2) ，令得，

函数在上单调减；函数在上单调增．

所以．分类讨论：

①当时，；

②当时，解得（舍）．

综上所述，的值为1．

(3)由题意可知函数在上单调增，故．

所以，即在上恒成立，

构造函数：设，设，结合函数的性质可得，的取值范围为．

试题解析：

解:(1) 当时，，．

因为在上单调增，且，

所以当时，；当时，．

所以函数的单调增区间是．

（2），则，令得，

当时，，函数在上单调减；

当时，，函数在上单调增．

所以．

①当，即时，

函数的最小值，

即，解得或（舍），所以；

②当，即时，

函数的最小值，解得（舍）．

综上所述，的值为1．

（3）由题意知，，．

考虑函数，因为在上恒成立，

所以函数在上单调增，故．

所以，即在上恒成立，

即在上恒成立．

设，则在上恒成立，

所以在上单调减，所以．

设，

则在上恒成立，

所以在上单调增，所以．

综上所述，的取值范围为．