Question

如图，在四棱锥中，底面边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点

（Ⅰ）证明：直线；

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

Answer 1

本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.

方法一（综合法）

  （1）取OB中点E，连接ME，NE

又

           

  （2）

       为异面直线与所成的角（或其补角）

                  作连接

                 

                 

         ∵，

                所以 与所成角的大小为

         （3）点B和点A到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

 于点Q，

              又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

                ，

         ∴，所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

 

 

 

(1)

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0

即

取,解得

(2)设与所成的角为,

   , 与所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

       由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为