题目内容

（2012•浦东新区一模）定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量
ON
=λ 
OA
+(1-λ) 
OB
，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ
a
+（1-λ）
b
，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（　　）
分析：由已知，先得出M、N横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．
解答：解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．
①对于函数y=x2，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y-1=
4-1
2-1
（x-1），即y=3x-2
|MN|=|x2-（3x-2）|=|（x-
3
2
）2-
1
4
|≤
1
4
，线性近似阀值为
1
4
．
②同样对于函数y=
2
x
，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=-x+3，|MN|═-x+3-
2
x
=3-（x+
2
x
）≤3-2
2
，线性近似阀值为3-2
2
．
③同样对于函数y=sin
π
3
x，A（1，
3
2
），B（2，
3
2
），AB方程为y=
3
2
，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-
3
2
，线性近似阀值为1-
3
2
，
④同样对于函数y=x-
1
x
，得A（1，0），B（2，
3
2
），
∴直线AB方程为y=
3
2
（x-1）
∴|MN|=x-
1
x
-
3
2
（x-1）=
3
2
-（
x
2
+
1
x
）≤
3
2
-
2
，线性近似阀值为
3
2
-
2
．
由于为
1
4
＞3-2
2
＞1-
3
2
＞
3
2
-
2
．所以线性近似阀值最小的是y=x-
1
x

故选D
点评：本题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化．
练习册系列答案
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log2(x-2) 
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[3，+∞）
[3，+∞）
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①X∈M、∅∈M；
②对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∪B∈M；
③对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，A∩B∈M；
则称M是集合X的一个“M-集合类”．
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10
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1
2
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2
(x-2)
1
2
+2
y=
2
(x-2)
1
2
+2
．
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10
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1
1+i
，则
.
z
=
1
2
+
1
2
i
1
2
+
1
2
i
．

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