Question

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是-(

2

，0)，(

2

，0)，离心率是

6

3

，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用左、右焦点坐标和离心率是

6

3

，就可求出对应椭圆C的方程；
（Ⅱ）先把直线y=t与椭圆C的方程求出点M，N的横坐标，进而求出圆的半径，再利用圆P与x轴相切就可求出t以及圆心P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）因为

c

a

=

6

3

，且c=

2

，所以a=

3

，b=

a2-c2

=1
所以椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由

y=t x2 3 +y2=1

得x=±

3(1-t2)

所以圆P的半径为

3(1-t2)

解得t=±

3

2

所以点P的坐标是（0，±

3

2

）

点评：在求椭圆的标准方程时，一般是利用条件先求a，c，或b，c；再利用a，b，c之间的关系即可求出椭圆的标准方程．