Question

给定椭圆C：＝1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为.

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；

(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围；

(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．

 

Answer 1

（1）x2＋y2＝4（2）[0，7＋4)（3）对于椭圆C上的任意点P，都有l1⊥l2.

【解析】(1)由题意知c＝，且a＝＝，可得b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1，其“准圆”方程为x2＋y2＝4.

(2)由题意，可设B(m，n)，D(m，－n)(－<m<)，则有＋n2＝1，又A点坐标为(2，0)，故＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，故·＝(m－2)2－n2＝m2－4m＋4－＝m2－4m＋3＝，又－<m<，故∈[0，7＋4]，所以·的取值范围是[0，7＋4)．

(3)设P(s，t)，则s2＋t2＝4.当s＝±时，t＝±1，则l1，l2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l1⊥l2.当s≠±时，设过P(s，t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则l的方程为y－t＝k(x－s)，代入椭圆C方程可得x2＋3[kx＋(t－ks)]2＝3，即(3k2＋1)x2＋6k(t－ks)x＋3(t－ks)2－3＝0，由Δ＝36k2(t－ks)2－4(3k2＋1)[3(t－ks)2－3]＝0，可得(3－s2)k2＋2stk＋1－t2＝0，其中3－s2＝0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是上述方程的两个根，故k1k2＝＝－1，即l1⊥l2.综上可知，对于椭圆C上的任意点P，都有l1⊥l2.