Question

【题目】已知函数（）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在递增，在递减．（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点1，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间（2）由题意得在恒成立，即利用变量分离转化为对应函数最值：的最大值，而可视作一个二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系得最值（3）不等式存在性问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：，设，则，所以，也可分类讨论

试题解析：（1）时，，，

令，解得，令，解得，

∴在递增，在递减．

（2）由已知得，函数的定义域为，

函数在上为减函数，∴在恒成立，

即在恒成立．

令，则，得到在恒成立，得，即的最小值为．

（3）若存在，使得成立，

问题等价于：存在，使得成立，

问题等价于：“当时，有”，且，

∵，结合（2）知：当时，．

①当时，在上恒成立，即在上单调递减，

则，得到成立．

②当时，不满足题意，综上