题目内容

某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗，规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百，之后每年所领取的比例只有去年的 $数学公式$ ，根据企业规划师预测，减员之后，该企业的利润增加可使得在职员工的收入得到提高，若当年的年收入a万元，之后每年将增长ka万元．
（1）当k= $数学公式$ 时，到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少？
（2）某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，求m的最大值及此时k的取值范围？

解：（1）设下岗员工第n年从该企业收入为a_n万元，则据题意a_n=（ $\text{[math]}$ ）^n-1[1+（n-1） $\text{[math]}$ ]a …（2分）
设S_n=a₁+a₂+…+a_n=[1+ $\text{[math]}$ +…+（ $\text{[math]}$ ）^n-1]a+ $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ +…+（n-1）（ $\text{[math]}$ ）^n-1]a
由错位相减法可得：S_n= $\text{[math]}$ [6-（n+6）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]a
∴到第n年下岗员工可从该企业获得收入 $\text{[math]}$ [6-（n+6）（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]a万元．（5分）
（2）令b_n=a_n+1-a_n=（ $\text{[math]}$ ）ⁿ[1+nk]a-（ $\text{[math]}$ ）^n-1[1+（n-1）k]a= $\text{[math]}$ [（3-n）k-1]a（7分）
据题意
当n＜m-1时，b_n≥0，即（3-n）k-1≥0；①
当n=m-1时，b_n＜0，即（4-m）k-1＜0； ②（10分）
当m≥4时，②式总成立，即从第4年开始下岗员工总是从该企业所得变少；
∴m_最大值=4；（12分）
将m=4代入①式得n＜3时，（3-n）k-1≥0恒成立；∵k＞0
∴[（3-n）k-1]_最小值=k-1≥0
∴k≥1
∴m的最大值为4，此时 k≥1．…（14分）
分析：（1）先求出下岗员工第n年从该企业收入，再利用错位相减法求和，即可得到结论；
（2）b_n=a_n+1-a_n，利用某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，建立不等式，即可求得结论．
点评：本题考查数列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．