Question

（05年广东卷）（14分）

在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）

（Ⅰ）求得重心（即三角形三条中线的交点）

的轨迹方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出

最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析: 解法一：

（Ⅰ）∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，

，依题意得

   ，①

∴，②　   ③

 ∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴设直线的方程为

∴①可化为    ，∴     ⑤，

设的重心G为，则

    ⑥ ，      ⑦，

由⑥⑦得   ，即，这就是得重心的轨迹方程．

（Ⅱ）由弦长公式得

把②⑤代入上式，得   ，

设点到直线的距离为，则，

∴ ，

∴ 当，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 ．

 

解法二：

（Ⅰ）∵  AO⊥BO, 直线，的斜率显然存在，

　　　∴设AO、BO的直线方程分别为，，

设，，依题意可得

　　　由得　，由得　，

设的重心G为，则

    　① ， 　　②，

由①②可得，，即为所求的轨迹方程.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，

∴

              ，

当且仅当，即时，有最小值，

∴的面积存在最小值，最小值是 .

 

 

解法三:（I）设△AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，则

    　　　　　　…（1）

不过∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …（2）

又点A，B在抛物线上，有，

代入（2）化简得，

∴，

∴所以重心为G的轨迹方程为，

（II），

由（I）得，

当且仅当即时，等号成立，

 

所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．