Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ．
（1）若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；
（2）当△ABC的周长取最大值时，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos2 +sinA= ，

∴2 +sinA= ，即 2 +sinA= ，∴cosA﹣sinA= ，

平方可得sin2A= ，∴cosA+sinA= = ，

求得cosA= ，sinA= ∈（ ， ），结合满足条件的△ABC有且只有一个，∴A∈（ ， ）．

∴由正弦定理可得 a=bsinA，即2= b，即 b= ；或 a≥b，即0＜b≤2，综上可得，b∈（0，2]∪{ }．

（2）解：由于△ABC的周长为a+b+c，

由余弦定理可得22=b2+c2﹣2bc =（b+c）2﹣ bc≥（b+c）2﹣ = （b+c）2，

∴b+c≤ =2 ，当且仅当b=c时，取等号，此时，三角形的周长为 2+b+c最大为2+2 ，

故此时b=

【解析】（1）由条件利用三角恒等变换求得cosA 和sinA 的值，结合满足条件的△ABC有且只有一个可得a=bsinA 或 a≥b，由此求得b的范围．（2）△ABC的周长为a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周长2+b+c最大值为2+2 ，此时，b= =c．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．