题目内容
1．
如图，以△ABC的边BC为直径作圆O交AC于D，过A点作AE⊥BC于E，AE交圆O于点G，交BD于点F．（Ⅰ）证明：△FBE∽△CAE；
（Ⅱ）证明：GE2=EF•EA．
分析 （Ⅰ）证明两组对应角相等，即可证明：△FBE∽△CAE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{EF}{EC}=\frac{BE}{AE}$，BE•EC=EF•EA，利用射影定理得，GE2=BE•EC，即可证明：GE2=EF•EA．
解答 
证明：（Ⅰ）∵AE⊥BC，
∴∠BEF=∠AEC=90° …2分
∵BC为直径，∴∠BDC=90°
∴∠FBE+∠ACE=90°，∠CAE+∠ACE=90°
∴∠FBE=∠CAE …4分
∴△FBE∽△CAE； …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{EF}{EC}=\frac{BE}{AE}$，∴BE•EC=EF•EA …7分
连接BG和CG，∵BC是直径，∴∠BGC=90°，而AE⊥BC，
由射影定理得，GE2=BE•EC …9分
∴GE2=EF•EA． …10分．
点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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11．设F1，F2分别是椭圆x2+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的左，右焦点，过F1的直线L与椭圆相交于A，B两点，|AB|=$\frac{4}{3}$，直线L的斜率为1，则b的值为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中F1、F2为左右焦点，O为坐标原点，直线l与椭圆交于P（x1、y1），Q（x2，y2）两个不同点，当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为$\frac{π}{4}$时，原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为$\sqrt{3}$-1
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16．已知F1，F2分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为以双曲线的焦距2c为直径的圆与双曲线的一个交点，若△PF1F2面积的最小值为$\frac{1}{2}$a2，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| A． | （1，+∞） | B． | （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$] | C． | [$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞） | D． | （1，2] |
6．已知正实数a、b、c满足$\frac{1}{e}≤\frac{c}{a}$≤2，clnb=a+clnc，其中e是自然对数的底数，则ln$\frac{b}{a}$的取值范围是（ ）
| A． | [1，+∞） | B． | $[{1，\frac{1}{2}+ln2}]$ | C． | （-∞，e-1] | D． | [1，e-1] |
13．θ∈[0，π]，$cosθ=\frac{3}{4}$，则$tan\frac{θ}{2}$=（ ）
| A． | $\sqrt{7}$ | B． | $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$ | C． | 7 | D． | $\frac{1}{7}$ |