Question

9．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（Ⅰ）当∠PEC=75°时，求∠PDF的度数；
（Ⅱ）求PE•PF的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°，利用∠CDB=∠CAB，即可证明结论；
（Ⅱ）利用割线定理，即可求出PE•PF的值．

解答 解：（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°…（1分）
∵∠CDB=∠CAB…（2分）
∠PEC=90°-∠CAB，…（3分）
∠PDF=90°-∠CDB…（4分）
∴∠PEC=∠PDF=75°；      （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：∠PEC=∠PDF，
∴D，C，E，F四点共圆，…（7分）
∵AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=2×12=24．（10分）

点评 本题考查四点共圆是证明，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．