Question

过双曲线的右焦点F₂，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F₁为左焦点．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面积；
（3）求证：|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线的标准方程，确定焦点坐标，进而可得直线AB的方程，与双曲线联立，利用韦达定理，可计算|AB|；
（2）求出原点O到直线AB的距离，即可求得△AOB的面积；
（3）利用双曲线的定义，即可证得结论．
解答：（1）解：由双曲线的方程得a=，b=，
∴c==3，F₁（-3，0），F₂（3，0）．
∴直线AB的方程为y=（x-3）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得5x²+6x-27=0．
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
∴|AB|=|x₁-x₂|=•=
（2）解：直线AB的方程变形为x-3y-3=0．
∴原点O到直线AB的距离为d==．
∴S_△AOB=|AB|•d=××=．…（8分）
（3）证明：如图，由双曲线的定义得
|AF₂|-|AF₁|=2，|BF₁|-|BF₂|=2，
∴|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|…（12分）
点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．