Question

过双曲线的右焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，F₁是左焦点，若∠PF₁Q=90°，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据过双曲线的右焦点F₂作垂直于实轴的弦PQ，得到P，Q，F₂的横坐标都是c，且P和Q关于F点对称的，设出点P，Q的坐标，∠PF₁Q=90°，根据•=0求得关于a，b，和c的一个方程，根据c2=a2+b2，消去b，得到关于a，c的一个方程，即可解得双曲线的离心率．
解答：解：由于PQ过F2，所以P，Q，F₂的横坐标都是c，且由双曲线的对称性可知，P和Q关于F点对称的，也就是P和Q的纵坐标是相反数，
那么设P（c，y），Q（c，-y），而F₁（-c，0）
那么=（2c，y），=（2c，-y）
∵∠PF₁Q=90°，∴•=0，
即（2c，y）•（2c，-y）=0
∴4c²-y²=0，
由于P在双曲线上，所以P满足，
又因为=e²，
把上式变形，得y²=b²（e²-1）
代入4c²-y²=0，有4c²-b²（e²-1）=0
即4c²-（c²-a²）（e²-1）=0
同时除以a²，有4e²-（e²-1）（e²-1）=0
整理上式，有e⁴-6e²+1=0
解得e²=3±，∵e＞1
∴e²═3+=（1+）²
∴e=1+
故选B．
点评：此题是个中档题，考查向量数量积的坐标运算和双曲线的定义，体现了数学结合的思想方法，求双曲线的离心率即寻求关于a，c的一个齐次式，解此方程即可求得结果，体现方程的方法．