题目内容
如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C、BB1A1A为全等的矩形，并且AB=1，BB1=2，AB⊥侧面BB1C1C，D为棱C1C上异于C、C1的一点，且DB⊥DA1．
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣DB1﹣A1的余弦值．
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣DB1﹣A1的余弦值．
（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB1两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B1（0，2，0），A1（0，2，1），C1（1，2，0）
设D（1，y，0），则
，
∵DB⊥DA1，
从而
，
∴
，∴B1D⊥BD，B1D⊥BA，∴B1D⊥平面ABD；
（2）解：由题意A1B1⊥B1D，又
，
∴
，
∴B1D⊥AD，
设二面角A﹣DB1﹣A1的大小为θ
则
，
A﹣DB1﹣A1的大小的余弦值为
．
以B为坐标原点，BC为x轴，BB1为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B1（0，2，0），A1（0，2，1），C1（1，2，0）
设D（1，y，0），则
，∵DB⊥DA1，
从而
，∴
，∴B1D⊥BD，B1D⊥BA，∴B1D⊥平面ABD；（2）解：由题意A1B1⊥B1D，又
，∴
，∴B1D⊥AD，
设二面角A﹣DB1﹣A1的大小为θ
则
，A﹣DB1﹣A1的大小的余弦值为
．
练习册系列答案
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