题目内容

如图，F为双曲线C：-=1(a＞b＞0)的左焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点，已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|.

(Ⅰ)写出双曲线c的离心率e与λ的关系式；

(Ⅱ)当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程.

解：(Ⅰ)∵四边形OFPM是平行四边形，∴|OF|=|PM|=c,

    作双曲线的右准线交PM于H，则|PM|=|PH|+2·,

    又e==,

∴e2-λe-2=0.

(Ⅱ)当λ=1时，e=2,c=2a,b2=3a2,双曲线为-=1,

∵四边形OFPM为菱形，∴KOP=,直线AB：y=(x-2a).

    代入双曲线方程得：9x2-48ax+60a2=0,

    又|AB|=12,|AB|

=∴12

=,

    解得a2=,则b2=,

∴双曲线方程为-=1.


练习册系列答案
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精英家教网如图，F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．
精英家教网如图，F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，设双曲线右支与x轴的交点为R，且|PR|=2，求此时的双曲线方程．
如图，F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点，已知四边形OFPM为平行四形，|
PF
|=λ|
OF
|．写出双曲线C的离心率e与λ的关系式．
如图点F为双曲线C的左焦点，左准线l交x轴于点Q，点P是l上的一点|PQ|=|FQ|=1，且线段PF的中点M在双曲线C的左支上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，设
FB
=λ
FA
，当λ∈[6，+∞）时，求直线m的斜率k的取值范围．

（06年安徽卷）（14分）

如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

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