Question

当曲线y=1+

9-x2

与直线kx-y-3k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）

• A．（0，+∞）
• B．（

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• C．（0，

  1

  2

  ]
• D．[

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：由条件化简可得半圆（图中红线）和直线有两个相异的交点，如图所示，求出NA、BC的斜率，可得实数k的取值范围．

解答：解：曲线y=1+

9-x2

，即x²+（y-1）²=9（y≥1），
表示以M（0，1）为圆心，半径等于3的一个半圆．
直线kx-y-3k+4=0即 k（x-3）-y+4=0，经过定点N（3，4）．
再根据半圆（图中红线）和直线有两个相异的交点，如图所示：
由题意可得，A（-3，1）、B（-3，1）、C（0，4），
直线NC和半圆相切，NA和半圆相较于两个点．
求得NA的斜率为

4-1

3-(-3)

=

1

2

，NC的斜率为0，
故所求的实数k的范围为（ 0，

1

2

]，
故选C．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．