Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率为k，且对于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）f（x）是定义在R上的奇函数，设x＜0，则-x＞0应用f（x）=2x³+mx²+（1-m）x求解，再由f（0）=0得解．
（Ⅱ）因为曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率为k所以由（I）求导f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

再由对任意的x₀∈[-1，1]，总能-1≤k≤9，则在任意x₀∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，又因为f'（x）是偶函数∴对任意x₀∈（0，1]时，-1≤f'（x₀）≤9恒成立即可．

解答：解：（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0) 2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

．
当m=2时，∴f(x)=

2x3+2x2-x，(x≥0) 2x3-2x2-x(x＜0)

（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=

6x2+2mx+(1-m)，(x≥0) 6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)

曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率，对任意的x₀∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，
则在任意x₀∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函数
∴对任意x₀∈（0，1]时，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰当-

m

6

≤0时，由题意得

f′(0)≥-1 f′(1)≤9

∴0≤m≤2
2⁰当0＜-

m

6

≤1时
∴

f′(- m 6 ) ≥-1 f′(0)≤9 f′(0)≤9

∴-6≤m＜0
3⁰当-

m

6

＞1时∴

f′(0)≤9 f′(1)≥-1

∴-8≤m＜-6
综上：-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．

点评：本题主要考查利用奇偶性求对称区间上的解析式和二次函数研究最值解决恒成立问题．