Question

（09年湖北五市联考理）（14分）

已知抛物线的准线方程，与直线在第一象限相交于点，过作的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作抛物线的切线，过作的垂线交x轴正半轴于点，…，依此类推，在x轴上形成一点列，，，…，，设点的坐标为

   （Ⅰ）试探求关于的递推关系式；

   （Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：．

Answer 1

解析：（I）由题意知：　　　　　　　（１分）

    由题意知联立得：，.

       　　　（３分）

    切线的斜率为，直线的斜率，

    直线的方程为

    令，得：                          （５分）

    （Ⅱ）由已知易得，直线的斜率，

直线的方程为：令得        　　　      （７分）

      　　　　   （９分）

 

当时 ，即： 

当时，   　　

　　　（11分）

(用数学归纳法证明亦可)

（III）由（II）知：.

.                                                                                                     (14分)