Question

设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上

（1）求归纳数列的通项公式（不必证明）；

（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），，，；，，，；，…..，

分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，

求的值；

（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围

 

Answer 1

（1);(2)2010;(3)

【解析】

试题分析：(1)根据题意求处前几项，利用归纳推理猜想通项公式；(2)观察发现规律,可得：，是第25组中第4个括号内各数之和；(3)将恒成立问题转化为求函数的最值进行求解.

规律总结：1.归纳推理是合情推理的一种，对数学定理、结论的求解起到非常重要的作用；此类题型的关键是通过已知的项，发现内在的规律与联系，进而提出猜想；2.求序号较大的项时，往往要探索是否具有周期性；3.对于不等式的恒成立问题，主要思路是将所求参数进行分离，将其转化为求函数的最值问题.

试题解析：（1）因为点在函数的图象上，

故，所以．

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：

（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.

（3）因为，故，

所以．

又，

故对一切都成立，就是

对一切都成立

设，则只需即可．

由于，

所以，故是单调递减，于是．

令，

即 ，解得，或．

综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是．

考点：1.归纳推理；2.等差数列；3.函数的单调性