Question

在数列{a_n}中，a₁=16，数列{b_n}是公差为-1的等差数列，且b_n=log₂a_n
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若存在正整数p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），求p，q得值；
（Ⅲ）若记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件推知{a_n}是等比数列，求出通项公式a_n，从而求出{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）由数列{b_n}的通项公式b_n，假设存在正整数p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），列出解析式

5-p=q 5-q=p p＞q

，解得p，q的值；
（Ⅲ）由a_n、b_n的表达式可得c_n的表达式，写出{c_n}的前n项和S_n，用错位相减法可求s_n．

解答：解：（Ⅰ）数列{a_n}中，a₁=16，数列{b_n}是公差为-1的等差数列，且b_n=log₂a_n；
∴b_n+1=log₂a_n+1，∴b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=log₂

an+1

an

=-1；
∴

an+1

an

=

1

2

，∴{a_n}是等比数列，通项公式为a_n=16×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5；
∴{b_n}的通项公式b_n=log₂a_n=log₂(

1

2

)n-5=5-n；
（Ⅱ）数列{b_n}中，∵b_n=5-n，假设存在正整数p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），
则

5-p=q 5-q=p p＞q

，解得

p=3 q=2

，或

p=4 q=1

；
（Ⅲ）∵a_n=(

1

2

)n-5，b_n=5-n，∴c_n=a_n•b_n=（5-n）×(

1

2

)n-5；
∴{c_n}的前n项和S_n=4×(

1

2

)-4+3×(

1

2

)-3+2×(

1

2

)-2+…+[5-（n-1）]×(

1

2

)(n-1)-5+（5-n）×(

1

2

)n-5①，
∴

1

2

s_n=4×(

1

2

)-3+3×(

1

2

)-2+2×(

1

2

)-1+…+[5-（n-1）]×(

1

2

)n-5+（5-n）×(

1

2

)(n+1)-5②；
①-②得：

1

2

s_n=4×(

1

2

)-4-(

1

2

)-3-(

1

2

)-2-(

1

2

)-1-…-(

1

2

)n-5-（5-n）×(

1

2

)n-4=64-

( 1 2 )-3-( 1 2 )n-4

1- 1 2

-（5-n）×(

1

2

)n-4=48+（n-3）×(

1

2

)n-4；
∴s_n=96+（n-3）×(

1

2

)n-5．

点评：本题考查了数列求和的错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式、前n项和等知识，也考查了一定的运算能力．