Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求二面角D-CB₁-B的大小．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理得到AC²+BC²=AB²，得到AC⊥BC，利用线面垂直的判定定理得到AC⊥平面BCC₁进一步证得AC⊥BC₁．
（2）取BC中点E，过D作DF⊥B₁C于F，连接EF．则D是AB中点，AC⊥平面BB₁C₁C，得到DE⊥平面BB₁C₁C，所以∠EFD是二面角D-B₁C-B的平面角，通过解三角形求出二面角D-CB₁-B的大小．

解答：解：（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5．
因为AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．…（2分）
又AC⊥CC₁，且BC∩C₁C=，
∴AC⊥平面BCC₁．…（4分）
又BC₁?平面BCC₁，
∴AC⊥BC₁．．…（5分）
（2）取BC中点E，过D作DF⊥B₁C于F，连接EF．
则D是AB中点，
∴DE∥AC．
又AC⊥平面BB₁C₁C，
∴DE⊥平面BB₁C₁C，
又因为DF⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．
∴∠EFD是二面角D-B₁C-B的平面角．…（8分）
在△DEF中，求得DE=

3

2

，EF=

3×4

5×2

=

6

5

．
∴tan∠EFD=

DE

EF

=

5

4

．
∴二面角D-B₁C-B的大小为arctan

5

4

．…（12分）

点评：本题考查空间中直线与平面之间的垂直关系，考查了求二面角的方法：找-证-求三步，也可通过建立空间直角坐标系来求．