Question

已知tan(3π+α)、cot(3π+α)是关于x的方程3x²-3kx+3k²-13=0的两实根，且π＜α＜，求cos(5π+α)+sin(5π+α)的值.

Answer 1

思路分析：由韦达定理先求出方程中的k值，再化简求值.

解：tan(3π+α)=tan(π+α)=tanα，cot(3π+α)=cot(π+α)=cotα，

∵tanα、cotα是方程3x²-3kx+3k²-13=0的两根，

∴

由①得，且能满足Δ=9k²-12(3k²-13)＞0.

又∵π＜α＜，∴tanα＞0，sinα＜0,cosα＜0.

且由②知k＞0，∴k=.

∴.∴sinα=.

∴(sinα+cosα)²=1+2sinαcosα=1+2×=1+.

又∵sinα+cosα＜0，

∴sinα+cosα=.

∴cos(5π+α)+sin(5π+α)=cos(π+α)+sin(π+α)=-(sinα+cosα)=.

方法归纳 与一元二次方程有关的问题要注意联想和使用根与系数的关系.