题目内容

选修4-5：不等式选讲
设正有理数x是 $数学公式$ 的一个近似值，令y=1+ $数学公式$ ．
（Ⅰ）若x $数学公式$ ，求证：y＜ $数学公式$ ；
（Ⅱ）求证：y比x更接近于 $数学公式$ ．

证明：（I）y- $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x $\text{[math]}$ ，∴x $\text{[math]}$ ＞0，而1- $\text{[math]}$ ＜0，
∴y＜ $\text{[math]}$ ； …（5分）
（II）∵|y- $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=|x- $\text{[math]}$ |× $\text{[math]}$ ，
∵x＞0， $\text{[math]}$ -2＜0，|x- $\text{[math]}$ |＞0，
∴|y- $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |＜0，即|y- $\text{[math]}$ |＜|x- $\text{[math]}$ |，
∴y比x更接近于 $\text{[math]}$ …（10分）
分析：（I）利用作差法，比较y- $\text{[math]}$ 与0的大小关系，即可得到结论；
（II）利用作差法，比较|y- $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |与0的大小关系，即可得到结论．
点评：本题考查不等式的证明，解题的关键是利用作差法，确定差的符号时关键．