Question

设函数．

       （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

       （Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

       （Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，，，

所以切线的斜率为．…………………………………………2分

又，所以切点为．

故所求的切线方程为：即．……………………4分

（Ⅱ），，．…………………6分

      令，则．

       当时，；当时，．

      故为函数的唯一极大值点，

所以的最大值为=．……………………………8分

由题意有，解得．

     所以的取值范围为．…………………………………………10分

（Ⅲ）当时，．    记，其中．

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数．…………………………………………12分

又，

所以，对任意的，总有．

所以，

又因为，所以．

故在区间上不存在使得成立的（）个正数…．………………………14分