Question

【题目】已知函数f（x）=-sin2x+mcosx-1，x∈[]．

（1）若f（x）的最小值为-4，求m的值；

（2）当m=2时，若对任意x1，x2∈[-]都有|f（x1）-f（x2）|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）利用函数的公式化简后换元，转化为二次函数问题求解最小值，可得的值；

（2）根据恒成立，转化为函数的最值问题求解；

解：（1）函数f（x）=-sin2x+mcosx-1=cos2x+mcosx-2=（cosx+）2-2-．

当cosx=时，则2+，

解得：m=±

那么cosx=显然不成立．

x∈[]．

∴≤cosx≤1．

令cosx=t．

∴≤t≤1．

①当＞时，即m＞1，f（x）转化为g（t）min=（）2-2-=-4

解得：m=4.5，满足题意；

②当1＜时，即m＜-2，f（x）转化为g（t）min=（1）2-2-=-4

解得：m=-3，满足题意；

故得f（x）的最小值为-4，m的值4.5或-3；

（2）当m=2时，f（x）=（cosx+1）2-3，

令cosx=t．

∴≤t≤1．

∴f（x）转化为h（t）=（t+1）2-3，

其对称轴t=-1，

∴t∈[，1]上是递增函数．

h（t）∈[，1]．

对任意x1，x2∈[-]都有|f（x1）-f（x2）|恒成立，

|f（x1）-f（x2）|max=

可得：a≥2．

故得实数a的取值范围是[2，+∞）．