Question

在半径为R的球内作一内接圆柱，这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？并求此最大值．

Answer 1

分析：设内接圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，通过h²+4r²=4R²，利用基本不等式推出rh≤R²，求出S_侧=2πrh≤2πR²，得到结果．

解答：解  如图，设内接圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，则h²+4r²=4R²
因为h²+4r²≥4rh，当且仅当h=2r时取等．所以4R²≥4rh，即rh≤R²
所以，S_侧=2πrh≤2πR²，当且仅当h=2r时取等．
又因为h²+4r²=4R²，所以r=

2

2

R，h=

2

R时取等
综上，当内接圆柱的底面半径为

2

2

R，高为

2

R时，它的侧面积最大，为2πR²

点评：本题是中档题，考查球的内接几何体的表面积的最值的求法，基本不等式的应用是解题的关键，考查计算能力．