题目内容
在半径为R的球内作一内接圆柱，这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？并求此最大值．
【答案】分析：设内接圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，通过h2+4r2=4R2，利用基本不等式推出rh≤R2，求出S侧=2πrh≤2πR2，得到结果．
解答：
解 如图，设内接圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，则h2+4r2=4R2
因为h2+4r2≥4rh，当且仅当h=2r时取等．所以4R2≥4rh，即rh≤R2
所以，S侧=2πrh≤2πR2，当且仅当h=2r时取等．
又因为h2+4r2=4R2，所以
，
时取等
综上，当内接圆柱的底面半径为
，高为
时，它的侧面积最大，为2πR2
点评：本题是中档题，考查球的内接几何体的表面积的最值的求法，基本不等式的应用是解题的关键，考查计算能力．
解答：
解 如图，设内接圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，则h2+4r2=4R2因为h2+4r2≥4rh，当且仅当h=2r时取等．所以4R2≥4rh，即rh≤R2
所以，S侧=2πrh≤2πR2，当且仅当h=2r时取等．
又因为h2+4r2=4R2，所以
，时取等综上，当内接圆柱的底面半径为
，高为时，它的侧面积最大，为2πR2点评：本题是中档题，考查球的内接几何体的表面积的最值的求法，基本不等式的应用是解题的关键，考查计算能力．
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