Question

如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，M为BD'的中点，点N在AC'上，且|A'N|=3|NC'|，试求MN的长．

Answer 1

分析：由已知中正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，M为BD'的中点，点N在A′C'上，且|A'N|=3|NC'|，我们可以以D为原点建立空间坐标系，并根据正方体的几何特征，求出各点的坐标，然后将M，N的坐标代入空间两点距离公式，即可求出答案．

解答：解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，
所以B（a，a，0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）．
由于M为BD'的中点，取A'C'中点O'，所以M（

a

2

，

a

2

，

a

2

），O'（

a

2

，

a

2

，a）．
因为|A'N|=3|NC'|，所以N为A'C'的四等分，从而N为O'C'的中点，故N（

a

4

，

3

4

a，a）．
根据空间两点距离公式，可得|MN|=

( a 2 - a 4 )2+( a 2 - 3a 4 )2+( a 2 -a)2

=

6

4

a．

点评：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中根据建立坐标系，求出M，N两点的坐标是解答本题的关键．