Question

如图中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线的焦点.                              

（I）求椭圆的标准方程；

（II）若过点B的直线（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求OBE与OBF面积之比的取值范围.

Answer 1

解：（I）设椭圆的方程为，则①，

  ∵抛物线的焦点为（0， 1），

 ∴ ②

由①②解得.

∴椭圆的标准方程为. 

(II)如图，由题意知的斜率存在且不为零，

设方程为  ①，

将①代入，整理，得

，由得

设、，

则  ②

令， 则，

由此可得  ，，且.

由②知  ，

.

∴ , 即

∵  ，∴ ，

解得 

又∵，  ∴，

∴OBE与OBF面积之比的取值范围是（， 1）.