Question

方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示椭圆的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：根据椭圆的标准方程，结合题意建立关于k的不等式组，解出1＜k＜9且k≠5．再根据充要条件的定义进行正反论证，可得题中的方程表示椭圆的充要条件．

解答：解：若方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示椭圆，
则

9-k＞0 k-1＞0 9-k≠k-1

，
解之得1＜k＜9且k≠5；
反之，当1＜k＜9且k≠5时，
若1＜k＜5，则方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆；
若5＜k＜9，则方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示焦点在y轴上的椭圆．
综上所述，方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示椭圆的充要条件是1＜k＜9且k≠5．
故答案为：1＜k＜9且k≠5

点评：本题给出含有参数k的二次曲线方程，求该方程表示椭圆的充要条件．着重考查了椭圆的标准方程、充要条件的判断等知识，属于基础题．