Question

20．在△ABC中，若tanAtanC+tanBtanC=2tanAtanB，则 $\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$=2．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系、正弦定理，把角的关系转化为边的关系可得c²=2ab•cosC，再利用余弦定理求得要求式子的值．

解答 解：△ABC中，∵tanAtanC+tanBtanC=2tanAtanB，即 $\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$+$\frac{sinBsinC}{cosBcosC}$=2$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$，
即 $\frac{sinC（sinAcosB+cosAsinB）}{cosAcosBcosC}$=2$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$，即 $\frac{sinC•sin（A+B）}{cosC}$=2sinAsinB，即 sin²C=2sinAsinBcosC．
∴c²=2ab•cosC=2ab•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=a²+b²-c²，即 2c²=a²+b²，∴$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系、正弦定理，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键，属于基础题．