Question

9．如图，三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．
（I）证明：EF⊥CD；
（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （I）取CD的中点G，连接EG，FG，证明CD⊥平面EFG，即可证明：EF⊥CD；
（II）利用等体积方法，求点E到平面ABC的距离．

解答 （I）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，
∵E为BD的中点，∴EG∥BC，
∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，
同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，
∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，
∴EF⊥CD；
（II）解：S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△BCE=$\frac{1}{2}BE•CE$=$\frac{1}{4}$，
设点E到平面ABC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即点E到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积法求点E到平面ABC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．