Question

如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F₁为椭圆的左焦点且=1．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（I）写出A，B，F₁的坐标，进而得到，的坐标，代入=1并化简得b²=1，由，得，解出得a²，从而得椭圆方程；
（II）可根据圆心O到直线QN的距离d与圆的半径的大小关系判断：设P（x，y），则Q（x，2y）（x≠±2），由点斜式写出直线AQ方程，与直线BM方程联立可得M坐标，进而得N点坐标，由点斜式可得直线QN方程，根据点到直线距离公式可得圆心O到直线QN的距离，与半径a比较即可，注意点P坐标满足椭圆方程；
解答：解：（Ⅰ）易知A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），
∴，∴a²-c²=b²=1，
又，∴，解得a²=4，
∴；
（Ⅱ）设P（x，y），则Q（x，2y）（x≠±2），
∴，所以直线AQ方程，
∴，则，
∴，
又点P的坐标满足椭圆方程，则，
所以 ，∴，
∴直线QN的方程：，
化简整理得到：，即xx+2yy=4，
所以点O到直线QN的距离，
故直线QN与AB为直径的圆O相切．
点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查学生的运算能力，本题中动点较多，设点坐标时应尽量减少未知量的个数．