Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通公式；
（Ⅱ）若b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n）在直线上，则2a_n+1+S_n-2=0；由递推关系，得

∴ an+1 an = 1 2 (n≥2)

，验证

a2

a1

=

1

2

满足关系即得数列{a_n}的通公式；
（II）由（I）知，bn=(n+1)(

1

2

)n-1，数列{b_n}的前n项和T_n：T_n=2×

1

20

+3×

1

21

+4×

1

22

+…+(n+1)

1

2n-1

；则∴

1

2

T_n=2×

1

21

+3×

1

22

+4×

1

23

+…+(n+1)

1

2n

；作差，得

1

2

T_n，从而得 T_n．

解答：解：（I）在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上；
所以，2a_n+1+S_n-2=0，则

2an+1+Sn-2=0 2an+Sn-1-2=0(n≥2) ?2an+1=an(n≥2)

，

∴ an+1 an = 1 2 (n≥2)

（*），又∵2a₂+s₁-2=0，∴a₂=

1

2

，∴

a2

a1

=

1

2

满足关系式（*），
∴数列{a_n}的通公式为：an=(

1

2

)n-1；
（II）由（I）知，bn=(n+1)(

1

2

)n-1，数列{b_n}的前n项和T_n有：
T_n=2×

1

20

+3×

1

21

+4×

1

22

+…+(n+1)

1

2n-1

①；
∴

1

2

T_n=2×

1

21

+3×

1

22

+4×

1

23

+…+(n+1)

1

2n

②；
①-②，得

1

2

T_n=2×

1

20

+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-(n+1)

1

2n

=1+

1×(1-  1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-

n+3

2n

；
∴T_n=6-

n+3

2n-1

．

点评：本题（I）考查了由递推关系求数列的通项，需要验证n=1时成立；（II）考查了用错位相减法对数列求和，需要注意作差后的首、末项情况．