Question

设首项不为零的等差数列{a_n}前n项之和是S_n，若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12对任意{a_n}和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为（　　）

• A、0
• B、

  1

  5

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

分析：由等差数列{a_n}前n项之和是S_n，我们利用等差数列的前n项和公式，可将不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12进行变形，配方后，根据实数的性质，易得实数λ的最大值．

解答：解：∵Sn=

(a1+an)

2

n
∴an2+

Sn2

n2

≥λa12可以变形成：

5

4

an2+

1

2

a1an+(

1

4

-λ)a12≥0
即(

5

4

an+

1

5

a1)2+(

1

5

-λ)a12≥0
若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12对任意{a_n}和正整数n恒成立
仅需要λ≤

1

5

即可
则实数λ的最大值为

1

5

故选B

点评：数列是一种定义域为正整数的特殊函数，我们可以利用研究函数的方式研究它，特别是等差数列对应的一次函数，等比数列对应的指数型函数，我们要善于通过数列的通项公式、前n项和公式，或数列相关的一些性质，在解数列相关的不等式时，也可以利用配方法、放缩法等解不等式的方法．