Question

已知函数f(x)=

1

x

+aln(x+a+1)（a≠0）
（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线为9x+4y+m=0，求实数m的值；
（2）已知函数f（x）在（-1-a，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围，并指出单调性．

Answer 1

分析：（1）根据切线的方程得到切线的斜率，根据导数的几何意义可知x=2处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出m即可；
（2）根据函数y=f（x）在（-1-a，+∞）上为单调函数，可知0∉（-1-a，+∞），此时1+

1

a

-(-1-a)=2+a+

1

a

≤0，由二次函数图象可得在（-1-a，+∞）上f'（x）＜0，所以a≤-1时，函数f（x）在定义域上为单调函数，且为单调递减函数，即可求出a的范围．

解答：解：f′(x)=

ax2-(x+a+1)

x2(x+a+1)

=

(x+1)[ax-(a+1)]

x2(x+a+1)

=

a(x+1)(x-(1+ 1 a )

x2(x+a+1)

（1）由f′(2)=

3a-3

4(3+a)

=-

9

4

得a=-2，所以f(x)=

1

x

-2ln(x-1)
所以f(2)=

1

2

-2ln(2-1)=

1

2

，切点(2，

1

2

)代入切线9x+4y+m=0计算得m=-20
（2）由函数f（x）在（-1-a，+∞）上为单调函数，可知0∉（-1-a，+∞），即0≤-1-a，即a≤-1，
此时1+

1

a

-(-1-a)=2+a+

1

a

≤0，由二次函数图象可得在（-1-a，+∞）上f'（x）＜0，
所以a≤-1时，函数f（x）在定义域上为单调函数，且为单调递减函数．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题．