Question

已知复数z=（2+i）（i-3）+4-2i．
（Ⅰ）求复数z的共轭复数及|z|；
（Ⅱ）设复数z₁=z+（a²-2a）+ai（a∈R）是纯虚数，求实数a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵复数z=（2+i）（i-3）+4-2i
=2i+i²-6-3i+4-2i
=-3-3i，
∴，
|z|==3．
（Ⅱ）z₁=z+（a²-2a）+ai
=（a²-2a-3）+（a-3）i，
∵z₁是纯虚数，
∴，
解得a=-1．
分析：（Ⅰ）利用复数运算法则知z=（2+i）（i-3）+4-2i=-3-3i，由此能求出复数z的共轭复数及|z|．
（Ⅱ）利用复数的运算法则知z₁=z+（a²-2a）+ai=（a²-2a-3）+（a-3）i，再由z₁是纯虚数，得到，从而能求出实数a的值．
点评：本题考查复数的共轭复数和复数的模的求法，考查纯虚数的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意复数运算法则的灵活运用．