Question

已知复数z=（2+i）-

2x

1-i

（其中i是虚数单位，x∈R）．
（Ⅰ）若复数z是纯虚数，求x的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=|z|²与g（x）=-mx+3的图象有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对复数进行化简，然后利用纯虚数的概念可得不等式组，解出即可；
（Ⅱ）先表示出f（x），由y=f（x）与y=g（x）的图象有公共点可得对应方程组有解，由此可得m范围；

解答：解：（Ⅰ）依题意得：z=(2+i)-

2x

1-i

=(2-x)+(1-x)i，
又z是纯虚数，所以

2-x=0 1-x≠0

，解得x=2；
（Ⅱ）因为f（x）=|z|²=（2-x）²+（1-x）²=2x²-6x+5，
联立y=f（x）与y=g（x），得

y=2x2-6x+5 y=-mx+3

，消去y得2x²+（m-6）x+2=0，
又y=f（x）与y=g（x）的图象有公共点，
所以△≥0，即m²-12m+20≥0，解得m≤2或m≥10．

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、函数的零点，考查方程思想，属基础题．