Question

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．
（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE-AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
解答：解：（I）如图，AB=40，AC=10，．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．
由余弦定理得BC=．
所以船的行驶速度为（海里/小时）．

（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
==．
从而．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=．
由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15．
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
=．
所以船会进入警戒水域．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力．