题目内容
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40| 2 |
| ||
| 26 |
| 13 |
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
分析：（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=
求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．
（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE-AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
| ||
| 26 |
（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE-AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．
解答：
解：（I）如图，AB=40
，AC=10
，∠BAC=θ，sinθ=
．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=
=
．
由余弦定理得BC=
=10
．
所以船的行驶速度为
=15
（海里/小时）．
（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC=
=
=
．
从而sin∠ABC=
=
=
．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=
=
=40．
由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15．
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
=15×
=3
＜7．
所以船会进入警戒水域．
解：（I）如图，AB=40| 2 |
| 13 |
| ||
| 26 |
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=
1-(
|
5
| ||
| 26 |
由余弦定理得BC=
| AB2+AC2-2AB•AC•cosθ |
| 5 |
所以船的行驶速度为
10
| ||
|
| 5 |
（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC=
| AB2+BC2-AC2 |
| 2AB•BC |
| 402×2+102×5-102×13 | ||||
2×40
|
3
| ||
| 10 |
从而sin∠ABC=
| 1-cos2∠ABC |
1-
|
| ||
| 10 |
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=
| ABsin∠ABC |
| sin(45°-∠ABC) |
40
| ||||||||
|
由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15．
过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
=15×
| ||
| 5 |
| 5 |
所以船会进入警戒水域．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．考查学生的运算能力、综合考虑问题的能力．
练习册系列答案
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在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北方向55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40
如图所示，在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域．点E正北40
海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
(其中sin
，
)且与点A相距10
海里的位置C.